การพิสูจน์กฎคณิตศาสตร์โดยใช้ภาพ

ข. การหาค่าของ 1+2+3+ ......+ n =

จากภาพ สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่ประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก ๆ

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่ที่มีด้านยาวด้านละ 4 หน่วย เท่ากับ 42 ตารางหน่วย

จะเห็นว่าพื้นที่ครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่เท่ากับ
ตารางหน่วย

จากภาพ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่แรเงาทั้ง 4 รูปเท่ากับ ตารางหน่วย

นั่นคือ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก ๆ ทั้งหมดเท่ากับ
ตารางหน่วย

ดังนั้น     1+2+3+4   =  
ตารางหน่วย

ในทำนองเดียวกัน ถ้าต้องการหาค่าของ 1+2+3+......+ n    เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ

จะได้ว่า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหม่เท่ากับ n2 ตารางหน่วย
ดังนั้น พื้นที่ครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากับ n2/2 ตารางหน่วย และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดรวมกันเท่ากับ n/2 ตารางหน่วย

นั่นคือ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสรูปเล็ก ๆ ทั้งหมดเท่ากับ n2/2 + n/2 ตารางหน่วย
ดังนั้น 1+2+3+.....+ n = n2/2 + n/2

* เอกสารประกอบการสอน มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ 2542, วิชาบูรณาการ
หมวดการศึกษาทั่วไป รหัสวิชา 999211 คณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์ในชีวิตประจำวัน