การพิสูจน์กฎคณิตศาสตร์โดยใช้ภาพ

ก. การหาค่าของ

ราอาจจะใช้ภาพต่อไปนี้ เพื่อช่วยให้นักเรียนเห็นว่า ข้อสรุปดังกล่าวนั้นเป็นจริง เมื่อกำหนดให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก ๆ 1 รูป มีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย

พิจารณาหาผลบวกของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 4 จะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก ๆ มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับ 1+2+3+4 รูป
เมื่อนำภาพ และภาพ ซึ่งมีจำนวนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก ๆ เท่ากันนั้น นำมาประกอบกันเข้าจะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังภาพ

จำนวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก ๆ ทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ 4 x 5 รูป

ดังนั้น ภาพ ก. หรือ ภาพ ข. มีจำนวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก ๆ ทั้งหมดเท่ากับ(4 x 5)/2 = 10 รูป
หรือ
1+2+3+4 = (4 x 5)/2 = 10 รูป  นั่นเอง
ดันั้น เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ และต้องการหาค่าของ 1+2+3+.......+ n
เมื่อนำภาพทั้งสองมาประกอบกัน จะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังภาพ
จะเห็นว่าจำนวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก ๆ ทั้งหมดเท่ากับ n (n+1) รูป นั่นคือ จำนวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก ๆ ในภาพ ก. จะมี
รูป
ดังนั้น    1+2+3+ ............+ n   จะเท่ากับ


* เอกสารประกอบการสอน มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ 2542, วิชาบูรณาการ
หมวดการศึกษาทั่วไป รหัสวิชา 999211 คณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์ในชีวิตประจำวัน