คอนโวลูชัน

เมื่อมีเหตุการณ์อย่างหนึ่งเกิดขึ้นแล้วทำให้พฤติกรรมของธรรมชาติเปลี่ยนแปลงไปตามการกระทำของสิ่งที่ทำให้เกิดเหตุการณ์นั้น การกระทำร่วมกันของพฤติกรรมธรรมชาติกับสิ่งที่กระทำอย่างต่อเนื่องตามอนุกรมเวลาหรืออันดับเวลา เรียกว่า คอนโวลูชัน ปริมาณที่ได้ออกมาจากการคอนโวลูชันจะแสดงถึงการขยายและรวมกันตามอันดับเวลาของพฤติกรรมของธรรมชาติ เช่น

เมื่อทุบพื้นดินหนึ่งครั้ง พื้นดินจะกระจายคลื่นสั่นสะเทือนออกไปโดยรอบ คลื่นสั่นสะเทือนที่กระจายออกไปจะประกอบด้วยพลังงานที่ได้รับจากการทุบพื้นดินในช่วงเวลาสั้น ๆ ช่วงเวลาเดียว ผนวกกับการตอบสนองของพื้นดิน เมื่อถูกทุบจะขยายออกแล้วหดกลับแล้วขยายออกเล็กน้อยแล้วหดกลับที่เดิม พื้นดินจึงสั่นสะเทือนเป็นจังหวะ แม้ว่าจะทุบพื้นดินเพียงครั้งเดียวก็ตาม (ภาพ 1.)

ภาพ 1. คลื่นสั่นสะเทือนที่เกิดจากการทุบพื้นดิน กระจายออกไปตามอันดับเวลา

ในกรณีที่ฝนตกลงมาบนภูเขาที่ปกคลุมด้วยป่าไม้หลายชนิด น้ำฝนบางส่วนจะไหลบ่าลงสู่ลำธาร บางส่วนจะถูกดูดซับโดยเรือนยอดของต้นไม้ บางส่วนจะซึมซาบที่ผิวดินและซึมซาบลงสู่ดินระดับลึกถึงระดับน้ำใต้ดิน การตอบสนองของพื้นที่ภูเขาต่อน้ำฝนซึ่งเป็นปริมาณกระตุ้นเป็นปรากฏการณ์ธรรมชาติที่แสดงพฤติกรรมออกมาเป็นน้ำไหลในลำธาร ปริมาณน้ำฝนจำแนกได้ตามปริมาณมากหรือน้อย และจำแนกได้ตามเวลาช้าหรือเร็ว จึงเขียนคอนโวลูชันของการตอบสนองของพื้นที่ภูเขา ซึ่งประกอบด้วยการคูณกันของพฤติกรรมตอบสนอง (Response Behaviour) ของพื้นที่ภูเขา และน้ำฝน ซี่งเป็นฟังก์ชันกระทำ (Input Function)

ภาพ 2.

เนื่องจากปริมาณน้ำฝนซึ่งเป็นฟังก์ชันกระทำ จะกระทำอย่างต่อเนื่องเป็นอนุกรมเวลา จึงต้องคูณกันของแต่ละช่วงอันดับเวลาของน้ำฝนเรียงกันไปตามลำดับ จะได้ปริมาณน้ำท่าที่พื้นที่ภูเขาตอบสนองต่อน้ำฝนของแต่ละอันดับเวลา เรียงกันตามอันดับเวลาเป็นเส้นแต่ละเส้น เมื่อรวมปริมาณน้ำท่าที่แต่ละอันดับเวลาจากความสูงใต้เส้นกราฟที่อันดับเวลาเดียวกัน (เช่น ที่อันดับเวลาที่สอง ก็รวมแต่เฉพาะความสูงใต้เส้นกราฟที่ผ่านช่วงอันดับเวลาที่สองเท่านั้น) จะได้ปริมาณน้ำท่ารวม ดังภาพ 2.
ถ้าเป็นการแตกหักของชั้นหินใต้เปลือกโลก ชั้นหินจะปล่อยพลังงานศักย์ยืดหยุ่นที่เก็บไว้ก่อนเกิดการแตกหักออกมาเป็นพลังงานจลน์กระทำต่อมวลหินรอบด้าน ทำให้เปลือกโลกสั่นสะเทือน แล้วแผ่กระจายออกไปเป็นคลื่นแผ่นดินไหว
ในกรณีที่ฝนตกต่อเนื่อง แต่ไม่สามารถแบ่งออกมาเป็นอันดับเวลาแต่ละช่วง การปฏิบัติการคอนโวลูชันของพฤติกรรมตอบสนองของพื้นที่ภูเขา และปริมาณน้ำฝนที่ทำให้เกิดน้ำท่า เรียกว่า คอนโวลูชันอินทิกรัล (Convolution Integral) ดังแสดงในภาพ 3. ซึ่งมีการจัดเรียงพฤติกรรมตอบสนอง f ( t ) ที่เวลา t ตรงกันข้ามกับ i ( t ) และ Q ( t ) หมายความว่า ปริมาณน้ำฝนที่เวลา t กระทำกับพฤติกรรมตอบสนอง f ( t ) ที่เวลา t = 0 แต่ปริมาณน้ำฝนระหว่างช่วงเวลา t = t ถึง t = 0 (ตั้งแต่เริ่มต้นถึงเวลา t ) ยังคงกระทำกับกราฟน้ำท่าหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นพฤติกรรมตอบสนองของพื้นที่ภูเขา ตั้งแต่เวลา t = 0 ถึง t = t เนื่องจากปริมาณน้ำฝนที่เวลา t ยังไม่มีผลทำให้เกิดน้ำท่า ซึ่ง f( t ) = 0 ที่เวลา t = 0 นั่นคือ ปริมาณน้ำฝนที่ตกลงมาก่อนเวลา t (ตั้งแต่ t = t ถึง t = 0) เป็นปริมาณน้ำฝนที่มีอิทธิพลต่อการไหลของน้ำในลำธาร Q ( t ) ที่เวลา t = t

ปัญหาดังกล่าวค่อนข้างซับซ้อนและทำการคำนวณได้ยาก แต่มีวิธีการที่ทำให้ปัญหาง่ายขึ้นโดยการเลือกใช้ค่าเฉพาะช่วงอันดับเวลา (Discrete Value at each series of time) ของพฤติกรรมตอบสนอง เช่น ปริมาณน้ำท่าเพิ่มขึ้นอย่างมาก แล้วลดลงในอันดับเวลาต่อไป ตามลำดับ (4, 2, 1) เมื่อมีน้ำฝนเป็นฟังก์ชันกระทำอย่างต่อเนื่อง แต่จัดอันดับเวลาได้ เป็น (1, 1, 1, 2, 2, 2) ตามลำดับ

สมมุติว่า อันดับเวลาที่ต่อเนื่องช่วงละ 30 นาที เมื่อทำการคอนโวลูชันแล้ว จะมีปริมาณน้ำท่าในลำธารตามแต่ละอันดับเวลาเท่าไร การจัดเรียงพฤติกรรมตอบสนองต้องเริ่มที่เวลาเริ่มต้นของค่าพฤติกรรมตอบสนองให้ตรงกับปริมาณเริ่มต้นของฟังก์ชันกระทำ และต้องจัดเรียงค่าพฤติกรรมตอบสนองในทิศทางตรงกันข้ามกับฟังก์ชันกระทำ

ภาพ 3. คอนโวลูชันอินทิกรัลของน้ำฝนและกราฟหนึ่งหน่วยน้ำท่า

เนื่องจากในช่วงอันดับเวลาแรกที่ฝนเริ่มตก ฟังก์ชันกระทำอันดับเวลาแรกจะกระทำที่อันดับเวลาเดียวกันกับพฤติกรรมตอบสนองตัวแรกเทานั้นจะได้ (4 x 1) เมื่อเวลาผ่านไปอีกอันดับเวลา จึงมีการกระทำของฟังก์ชันกระทำที่อันดับเวลาแรกกระทำต่อพฤติกรรมตอบสนองที่อันดับเวลาที่สองเป็น (2 x 1) ร่วมกับการกระทำของฟังก์ชันกระทำที่อันดับเวลาที่สอง กระทำต่อพฤติกรรมตอบสนองที่อันดับเวลาแรกเป็น (4 x 1) ในขณะที่พฤติกรรมตอบสนองที่อันดับเวลาที่สามยังไม่ถูกกระทำ จึงได้ (1 x 0) เมื่อรวมปริมาณน้ำที่อันดับเวลาที่สอง จะได้ (1 x 0) + (2 x 1) + (4 x 1) = 6 ดังแสดงในภาพ 4. เมื่อเวลาผ่านไป 6 ช่วงอันดับเวลา ฝนหยุดกระทำ แต่พฤติกรรมธรรมชาติของพื้นที่ภูเขายังคงตอบสนอง โดยการระบายน้ำออกมาสู่ลำธารเรื่อย ๆ จนกระทั่งหยุดระบายที่อันดับเวลาที่ 8 ปริมาณน้ำท่าสูงสุดที่ไหลในลำธารอยู่ที่อันดับเวลาที่ 6
ภาพ 4. การคอนโวลูชันพฤติกรรมตอบสนองและฟังก์ชันกระทำที่เลือกใช้ค่าเฉพาะช่วงอันดับเวลา


การคอนโวลูชันสามารถนำมาประยุกต์กับปรากฏการณ์ธรรมชาติหลายรูปแบบ แม้แต่สัญญาณคลื่นรบกวนที่กระทำรวมกันไปกับสัญญาณข้อมูลที่ต้องการ การคอนโวลูชันพฤติกรรมของตลาดหุ้นและกระแสเศรษฐกิจเช่นกันก็สามารถประยุกต์ได้


ที่มา เอกสารประกอบการสอน มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ 2542, วิชาบูรณาการ
หมวดการศึกษาทั่วไป รหัสวิชา 999211 คณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์ในชีวิตประจำวัน